Линейное программирование: введение и основные понятия
Линейное программирование — это раздел математики, который занимается оптимизацией линейных функций при наличии линейных ограничений. Эта область имеет широкое применение в экономике, управлении производством, логистике и других областях, где необходимо принимать оптимальные решения в условиях ограниченных ресурсов.
Основные понятия
В линейном программировании мы имеем дело с линейными функциями и ограничениями. Линейная функция — это функция, которая может быть представлена в виде уравнения прямой на плоскости. Линейное ограничение — это условие, которое должно выполняться для всех возможных значений переменных.
Например, рассмотрим задачу оптимизации производства. Мы хотим максимизировать прибыль от производства двух товаров, используя два вида сырья. У нас есть ограничения на количество каждого вида сырья, которое мы можем использовать, и ограничения на спрос на каждый товар. Наша цель — найти такие объёмы производства каждого товара, которые максимизируют прибыль при соблюдении всех ограничений.
Формулировка задачи линейного программирования
Задача линейного программирования может быть сформулирована следующим образом:
Максимизировать (или минимизировать) целевую функцию:
f(x1,x2,...,xn)=c1x1+c2x2+...+cnxn
При ограничениях:
a11x1+a12x2+...+a1nxn≤b1
a21x1+a22x2+...+a2nxn≤b2
…
am1x1+am2x2+...+amnxn≤bm
И условиях неотрицательности переменных:
x1≥0,x2≥0,...,xn≥0
Здесь x1,x2,...,xn — переменные задачи, c1,c2,...,cn — коэффициенты целевой функции, aij — коэффициенты ограничений, bi — правые части ограничений, m — количество ограничений.
Методы решения задач линейного программирования
Для решения задач линейного программирования существуют различные методы, такие как графический метод, симплекс-метод, метод искусственного базиса и др. Выбор метода зависит от конкретной задачи и её условий.
Графический метод подходит для задач с двумя переменными. Он заключается в построении графика целевой функции и ограничений и поиске оптимального решения в точке пересечения этих графиков.
Симплекс-метод является наиболее распространённым методом решения задач линейного программирования. Он основан на последовательном переходе от одного базисного решения к другому, пока не будет найдено оптимальное решение.
Метод искусственного базиса используется для решения